Dnes je 28.05. 2026

Soutěž

Odpovědi posílejte na adresu soutez <at> ttnz <dot> cz. Odpovědi musí být srozumitelné, jednoznačné a správně česky. Posílat můžete i částečné odpovědi, jednotlivé otázky jsou bodované, rozhodující je konečný součet získaných bodů. U odpovědí uvádějte prosím i zdroje informací.

Obsah

5. kolo

Otázky - s rovnicemi i bez nich II

  1. Na dětském táboře bylo 38 chlapců ve věku 10-14 let. Jedenáctiletých bylo tolik jako třináctiletých, desetiletých tolik jako čtrnáctiletých, dvanáctiletých bylo o 3 víc než jedenáctiletých a jedenáctiletých bylo o 5 víc než desetiletých. Kolik bylo kterých? (1b)
  2. První dělník zhotoví výrobek o 4 hodiny, druhý o 9 hodin později, než by jej zhotovili společně. Za jak dlouho zhotoví výrobek každý sám? (2b)
  3. Petr, Pavel a Ivan a jejich manželky Ivana, Alena a Jana mají dohromady 151 let. Každý muž je starší o 5 let než jeho manželka. Petr je o rok starší než Alena, Ivana a Petr mají dohromady 48 let, Ivan a Ivana 52 let. Určete manželské páry a stáří jednotlivých osob. (2b)
  4. V domě bydlí 5 rodin, každá v jiném patře: rodina A bydlí mezi C a B, C a D bydlí výš než E, E bydlí o patro níž než B. V kterém patře která rodina bydlí? (1b)
  5. V parku na lavičce sedí 4 dívky: Jana, Eva, Zuzana a Pavla. Seřaďte je podle velikosti, věku a krásy, víte-li, že
    1. Zuzana je větší než Eva, ale menší a hezčí než Pavla,
    2. Pavla je mladší než Zuzana nebo Eva,
    3. Eva je hezčí než Zuzana, ale méně hezká než Jana,
    4. Jana je starší než Zuzana a mladší než Eva, ale je menší než obě dvě. (2b)
  6. U trojmístného čísla se číslice zleva doprava postupně o jednu zmenšují. Zmenšíme-li všechny číslice o dvě, dostaneme číslo o šest menší, než je polovina původního. Určete toto číslo. (2b)

Řešení

  1. Desetiletí a čtrnáctiletí byli 4, jedenáctiletých a třináctiletých bylo 9, dvanáctiletých bylo 12.
  2. První dělník zhotoví výrobek za 10 hodin, druhý za 15 hodin.
  3. Petr 26 + Jana 21, Pavel 27 + Ivana 22, Ivan 30 + Alena 25.
  4. Nejvýš bydlí rodina D, potom C, A, B, E.

  5. Podle velikosti: Pavla, Zuzana, Eva, Jana

    Podle věku: Eva, Jana, Zuzana, Pavla

    Podle krásy: Jana, Eva, Zuzana, Pavla

  6. Hledané číslo je 432.

4. kolo

Otázky - s rovnicemi i bez nich

  1. Janě je 24 let. Je jí dvakrát tolik let, jako bylo Haně, když Janě bylo tolik let, jako je Haně dnes. Kolik let je Haně? (2b)
  2. Z místa A vyjede cyklista rychlostí 24 km/h. Současně s ním vyjde z místa B vzdáleného od A 27 km stejným směrem chodec rychlostí 6 km/h. Kdy a kde ho cyklista dohoní? (1b)
  3. Obvod trojúhelníkové zahrady je 104 m. Jedna strana je o 6 m delší než druhá a o 8 m kratší než třetí. Kolik metrů měří jednotlivé strany? (1b)
  4. Pan Kvapil má parcelu. Kdyby byla o 24 m^2 větší, byl by to čtverec. Kdyby byla ještě o 25 m^2 větší, byl by to zase čtverec, ale měl by stranu o 1 m delší než v prvním případě. Jak je parcela velká? (2b)
  5. V pokoji byla shromážděna početná rodina: 2 otcové, 2 matky, 2 synové, 2 dcery, 2 ženatí muži, 2 vdané ženy, 2 sestry, 1 bratr, 1 tchán, 1 tchyně, 1 dědeček, 1 babička, 1 snacha a 3 vnoučata. Kolik je v pokoji lidí?(1b)
  6. V družstvu je 5 mužů. Seřaďte je od největšího po nejmenšího, když víte, že:
    1. Zdeněk je menší než Martin.
    2. Libor je větší než Vilém.
    3. Viktor je menší než Zdeněk.
    4. Martin je větší než Libor.
    5. Vilém je menší než Zdeněk.
    6. Viktor je menší než Martin.
    7. Libor je menší než Zdeněk.
    8. Vilém je větší než Viktor.
    9. Viktor je menší než Libor.
    10. Vilém je menší než Martin. (3b)

    7. Řešení

    1. Haně je dnes 18 let.
    2. Cyklista dožene chodce za 1 hod 30 min 9 km za místem B.
    3. Strany trojúhelníku mají délky 28m, 34m, 42m.
    4. Parcela má rozlohu 120m^2.
    5. V místnosti bylo 7 lidí.
    6. Martin, Zdeněk, Libor, Vilém, Viktor.

    3. kolo

    Otázky

    1. Co vyjadřuje funkce "signum" y=sgn x a jakých funkčních hodnot nabývá? Jak vypadá její graf? (2b)
    2. Co jsou to diofantické rovnice? Po kom jsou nazvány a kdy tento člověk žil? (2b)
    3. Po kom jsou nazvány vzorce pro řešení kubických rovnic, tj. rovnic, ve kterých se neznámá vyskytuje ve třetí mocnině? (1b)
    4. Úloha 1: Jan Novák se narodil ve 20. století. Ciferný součet letopočtu jeho narození určuje, kolik mu bylo let v roce 1966. Jak je starý dnes? (2b)
    5. Úloha 2: Věk vrátného je o 11 let vyšší než dvojnásobný počet schodů do sklepa. Násobíme-li desetinu jeho věku čtvrtinou počtu schodů, dostaneme věk manželky vrátného, která se dožila 4 ⁄ 5 nynějšího věku svého manžela. Jak starý je vrátný? (2b)
    6. Který významný matematik zemřel 31.3.1727? (1b)

    Řešení

    1. Funkce "signum" vyjadřuje znaménko daného čísla. Pro všechna záporná čísla nabývá hodnoty -1, pro 0 nabývá hodnoty 0 a pro všechna kladná čísla nabývá hodnoty 1. Na intervalu (-∞;0) je graf určen přepisem y=-1, sgn(0)=0, na intervalu (0;∞) je graf určen předpisem y=1.
    2. Diofantické rovnice jsou algebraické rovnice s celočíselnými koeficienty, jejichž neznámé mohou nabývat pouze celých čísel. Jsou nazvány po Diofantovi z Alexandrie, který žil na přelomu 2. a 3. století př.n.l.
    3. Gerolamo Cardano (Jerome Cardan, Girolamo Cardan), 1501-1576.
    4. Narodil se v roce 1946 a dnes je mu 60 let.
    5. Vrátnému je 75 let, jeho manželka se dožila 60 let. Do sklepa vede 32 schodů.
    6. Isaac Newton.

    2. kolo

    Otázky

    1. Co jsou to platónská tělesa? Kolik jich je a která to jsou? (2b)
    2. Číslo π je nazýváno po jednom matematikovi. Po kterém a proč? (1b)
    3. π je transcendentní číslo, co to znamená? (1b)
    4. Existují 3 slavné úlohy tzv. neřešitelné kružítkem a pravítkem, kterými se matematici zabývali od starověku. Jejich neřešitelnost byla dokázána až v 19.století. Uveďte je a popište, o co v nich jde. (2b)
    5. Kdo vyslovil první definici pojmu funkce a kdy? (2b)
    6. Jak vypadá graf funkce "celá část čísla" dané předpisem y=[x]? (2b)

    Řešení

    1. Platónské těleso je konvexní mnohostěn, pro který platí: všechny stěny jsou tvořeny stejnými pravidelnými n-úhelníky a v každém vrcholu se stýká stejný počet stěn. Existuje jich 5 - pravidelný čtyřstěn (tetraedr, stěny jsou rovnostranné trojúhelníky), krychle (stěny jsou čtverce), pravidelný osmistěn (oktaedr, stěny jsou rovnostranné trojúhelníky), pravidelný dvanáctistěn (ikosaedr, stěny jsou rovnostranné trojúhelníky), pravidelný dvacetistěn (dodekaedr, stěny jsou pravidelné pětiúhelníky).
    2. Je nazýváno Ludolfovým číslem po holandském matematikovi Ludolphovi van Ceulen (1539-1610), který se číslem π zabýval celý život a vypočítal jej na 35 desetinných míst.
    3. Transcendentní číslo je číslo, které není řešením žádné rovnice s racionálními koeficienty.
      • Kvadratura kruhu - sestrojení čtverce o stejném obsahu jako má zadaný kruh.
      • Zdvojení krychle - sestrojení krychle s dvojnásobným objemem než má zadaná krychle.
      • Trisekce úhlu - rozdělení libovolného úhlu na třetiny.
    5. Název funkce jako první použil G. W. Leibnitz v jedné ze svých prací v roce 1673.
    6. Funkce "celá část čísla" přiřazuje každému reálnému číslu x největší celé číslo menší nebo rovné x a značí se [x]. Na intervalu ⟨-1;0) nabývá tedy hodnoty -1, na intervalu ⟨0;1) nabývá hodnoty 0, na intevalu ⟨1;2) nabývá hodnoty 1 atd. Graf je proto nespojitý, složený z úseček rovnoběžných s osou x (jsou částmi grafů konstantních funkcí nabývajících příslušných funkčních hodnot).

    1. kolo

    Otázky

    1. Co je to zlatý řez úsečky? Jak souvisí s pravidelným pětiúhelníkem? (2b)
    2. Kdo drží světový rekord ve výpočtu největsího počtu desetinných míst čísla π? Kolik desetinných číslic to je? (2b)
    3. Slavná úloha: Položme na rovník provaz tak, že bude na každém místě přiléhat k Zemi (Zemi považujme za ideální kouli o poloměru 6 378km). Jeho délka bude rovna přesně délce ideálního rovníku. Tento dlouhý provaz prodloužíme přesně o 1 metr. Opět z něj vytvoříme kružnici, která je na každém místě od rovníku stejně vzdálená. Jak moc? Vyjádřete vzdálenost v centimetrech. (2b)
    4. Co je to tětivový čtyřúhelník? (1b)
    5. V každém trojúhelníku platí Heronův vzorec. Existuje podobný vzorec i pro tětivový čtyřúhelník. Po kom je nazýván a jak zní? (2b)
    6. Kdo byl Brahmagupta a kdy žil? (1b)

    Řešení

    1. Rozdělíme-li úsečku AB délky a bodem C na dvě části x a (a-x) tak, aby se poměr délek větší části x k menší části (a-x) rovnal poměru délky úsečky a k větší části x, tedy aby platilo x:(a-x)=a:x, pak říkáme, že jsme sestrojili zlatý řez úsečky AB a poměr a:x, resp. x:(a-x), nazveme zlatým poměrem.

      Úhlopříčky v pravidelném pětiúhelníku se protínají v poměru zlatého řezu. Poměr úhlopříčky a strany pravidelného pětiúhelníka je zlatý.

    2. Yasumasa Kanada, japonský matematik, v roce 2003 bylo spočítáno 1,2411 trilionu číslic (1 241 100 000 000 ).
    3. Mezi Zemí a provazem bude vzdálenost přibližně 16cm. Tento výpočet je nezávislý na poloměru uvažované koule.
    4. Tětivový čtyřúhelník je každý čtyřúhelník, kterému lze opsat kružnici.
    5. Brahmaguptův vzorec : √(s-a)(s-b)(s-c)(s-d), kde a, b, c, d, jsou délky stran čtyřúhelníku a s je polovina obdvodu.
    6. Brahmagupta byl indický matematik, pravděpodobná data 598-670.

    Pořadí podle získaných bodů

    Jméno 1.kolo 2.kolo 3.kolo 4.kolo 5.kolo celkem
    1. Lucka S. 7 8 10 10 8 43
    2. Lenka 7 9 8 10 8 42
    3. Lucka V. 1 4 2 5 5 17
    4. Mirek 3 5 0 8 0 16
    5. Dominika 4 0 0 7 0 11
    6. Vendula 6 0 0 0 0 6
    7. Tomáš S. 3 0 0 0 0 3

    Valid XHTML 1.0 Transitional